برای استفاده از آکادمی خان باید به مرورگر وب دیگر ارتقا دهید. برای شروع به روزرسانی فقط یکی از گزینه های زیر را انتخاب کنید.

اگر این پیام را مشاهده می کنید ، این بدان معنی است که ما در بارگیری منابع خارجی در وب سایت خود مشکل داریم.

اگر در پشت فیلتر وب هستید ، لطفاً اطمینان حاصل کنید که دامنه *. kastatic. org و *. kasandbox. org بدون انسداد هستند.

AP®︎/زیست شناسی کالج

واحد 2: درس 2

حجم یک کره

فرمول حجم یک کره V = 4/3 π R³ است ، که در آن V = حجم و r = شعاع. شعاع یک کره نیمی از قطر آن است. بنابراین ، برای محاسبه سطح یک کره با توجه به قطر کره ، ابتدا می توانید شعاع و سپس حجم را محاسبه کنید. ایجاد شده توسط موسسه فناوری و آموزش و پرورش سال خان و مونتری.

میخواهی وارد گفتگو شوی؟

0:40

از آنجا که حجم یک کره V = (4/3) πr^3 است ، ما از شماره منطقی 4/3 استفاده می کنیم تا راه حل دقیق را به ما ارائه دهد. با این حال توجه کنید که در این ویدیو ، پس از اینکه آقای خان تعویض خود را انجام می دهد ، او از ماشین حساب خود برای یافتن راه حل تقریبی v = (4/3) π (7)^3 = 1436. 8 استفاده می کند. آیا مشکل مشخص شده برای یافتن حجم دقیق ، ما فقط جایگزین می کنیم ، v = (4/3) π (7)^3 و به V = (4/3) π (343) = (1372/3) π ساده می شود، جایی که ما بخش را انجام نمی دهیم.

سوال عالی !! 4/3 چندان واضح نیست و برای استخراج به برخی از کارها نیاز دارد.

دو شکل زیر را در نظر بگیرید: شکل 1: نیمه بالای یک کره با شعاع r. شکل 2: یک سیلندر با شعاع R و ارتفاع R ، اما با یک مخروط (با نقطه در پایین در مرکز پایه پایین استوانه) با شعاع R و ارتفاع R از آن خارج شد.

از فرمول های حجم برای یک استوانه و مخروط ، حجم شکل 2 pi r^2 * r - (1/3) pi r^2 * r = (2/3) pi r^3 است.

اکنون باید مناطقی از مقطع افقی شکل 1 و شکل 2 را در هر ارتفاع مشخص H بالاتر از پایین مقایسه کنیم. هنگامی که ما نشان می دهیم که این مقطع در هر ارتفاع دارای مناطق مساوی هستند ، سپس اصل Cavalieri حاکی از آن است که حجم شکل 1 و شکل 2 برابر است (از آنجا که ارتفاعات کلی دو شکل برابر است ، به ویژه با R).

در شکل 1 ، سطح مقطع یک دایره با شعاع SQRT (R^2 - H^2) از قضیه فیثاغورئی است (هیپوتنوز R است ، یک پا H است ، و پای دیگر شعاع سطح مقطع است). بنابراین مساحت سطح مقطع در ارتفاع h pi [sqrt (r^2 - h^2)]^2 = pi (r^2 - h^2).

در شکل 2، مقطع یک ناحیه حلقه‌ای شکل با شعاع بیرونی برابر با r (از استوانه، زیرا شعاع هر مقطع، شعاع استوانه است) و شعاع داخلی برابر با h (از مخروط، زیرا در مخروط باارتفاع و شعاع مساوی، شعاع هر مقطع برابر با ارتفاع آن بالاتر از نقطه پایین است). بنابراین مساحت سطح مقطع در ارتفاع h pi r^2 - pi h^2 = pi(r^2 - h^2) است.

بنابراین این مقاطع در هر ارتفاع دارای مساحت مساوی هستند. بنابراین شکل 1 و شکل 2 حجم یکسانی دارند. از آنجایی که متوجه شدیم حجم شکل 2 (2/3) pi r^3 است، همین امر برای شکل 1 که نیمکره ای با شعاع r است، صادق است. بنابراین، حجم یک کره کامل (4/3) pi r^3 است.

(به هر حال، اگر حساب دیفرانسیل و انتگرال را بعداً بگیرید، با یافتن یک انتگرال می توانید این فرمول را به روش دیگری استخراج کنید. حجم یک کره کامل انتگرا ل-r به r از pi(r^2 - x^2) است. dx.)

وقتی داشتم تکالیف ریاضیم را انجام می‌دادم، همراه با ویدیو می‌رفتم و اعداد صفحه‌ام را در ماشین حساب کلید می‌زدم. من به یک مشکل برخورد کردمجواب درستی نگرفتم و الان نمی دانم باید چه کار کنم. شعاع من 12 بود ولی جوابم 7238. 229474 بود. هر چند اشتباه است. نمی دانم چه کنم. لطفا کمک کنید!

V = 4/3 π r^3، بنابراین ابتدا بررسی کنید و ببینید آیا مشکل پاسخ را بر حسب pi می‌خواهد که 2304 π باشد. اگر سوال پاسخ تقریبی را بخواهد، و ما 2304 ضربدر π را انجام دهیم، پاسخ شما صحیح خواهد بود، بنابراین باید به جایی که از شما می‌خواهند عدد را گرد کنید نگاه کنید، گرد کردن شما به نزدیک‌ترین میلیونیم تقریباً همیشه زیاد است. سوالات معمولی که برای پاسخ‌های گرد می‌خواهند به نزدیک‌ترین عدد صحیح، نزدیک‌ترین دهم یا نزدیک‌ترین صدم هستند. بنابراین از آنجایی که ریاضیات صحیح است، پس فرض من این است که شما به سوال با دقتی که پرسیده شد (یا بر حسب پی) پاسخ ندادید.

آیا استفاده از 3. 14 در هنگام حل راحت تر است یا pi؟معلم ریاضی من به ما اجازه می دهد هر کدام را انجام دهیم، اما مطمئن نیستم که در نهایت کدامیک دقیق تر باشد.

استفاده از نماد π بی نهایت دقیق تر از نوشتن 3. 14 است. تنها نکته این است که ترک پاسخ شما بر حسب π به شما یک بسط اعشاری از پاسخ شما نمی دهد. دانشمندان و مهندسان تجربی اغلب از 3. 14 (یا حتی فقط 3) استفاده می کنند، در حالی که ریاضیدانان و افرادی که تمرکز نظری بیشتری دارند از π استفاده می کنند.

فقط بستگی به این دارد که شما از پاسخ خود چه می خواهید.

چگونه فرمول را استنباط می کنید؟واقعا برای من مهم است، لطفا کمک کنید!(می‌دانم وقتی استنباط می‌کنید شامل هندسه می‌شود، زیرا وقتی فرمول مساحت دایره‌ها را استنباط می‌کنم به هندسه نیاز دارم)

من فرض می‌کنم که شما در مورد یافتن سطح یک کره با توجه به حجم آن می‌پرسید.

حجم داده شده را جایگزین V در معادله V = (4/3)pi r^3 کنید و شعاع r را حل کنید. حل r شامل تقسیم هر دو طرف بر (4/3) پی و سپس گرفتن ریشه مکعبی هر دو طرف است.

هنگامی که r را پیدا کردید، مقدار r خود را با معادله S = 4pi r^2 جایگزین کنید تا سطح S را پیدا کنید.

فرمول یافتن حجم کره ای با شعاع و ارتفاع یک استوانه (برعکس) چیست؟من در وب جستجو کردم و هنوز جواب روشنی پیدا نکردم. لطفا کمکم کن.

شما باید دقیق تر باشید، حجم یک کره V = 4/3 π r^3 است، نیازی نیست که مربوط به یک استوانه باشد. بنابراین اگر شعاع را می دانید، می توانید حجم را محاسبه کنید. حجم یک استوانه با شعاع یکسان و با ارتفاع 2r (از آنجایی که قطر آن است) V = π r^2 h = 2π r^3 خواهد بود. بنابراین فضای خالی کره ای که در یک استوانه قرار می گیرد V = 2πr^3 - 4/3πr^3 = 2/3 πr3 خواهد بود.

حجم یک کره (4/3)pi r^3 است. بنابراین حجم کل یک کره و یک نیمکره با شعاع یکسان (3/2) (4/3)pi r^3 = 2pi r^3 است.

ارسال شده 2 سال پیش. پیوند مستقیم به پست Caden Lowstuter/cheesburgerdude🍔 «چگونه نیمی از a را پیدا می کنی.”

1:42

? اگر th pi را به 3. 14 گرد کنید، لایک کنید. من به کسی نیاز دارم که بتواند من را از طریق ریاضی راهنمایی کند، می دانم که 1/2 تقسیم بر 2 است اما من 4/3 نمی کنم

4/3 x 5 برای مثال 5 اول برابر است با 5/1 بنابراین 4/3 x 5/1 وقتی کسرها را ضرب می کنید، اعداد را ضرب می کنید تا به عدد 5 برسید، بنابراین 5 x 4 = 20 شما همین کار را برای مخرج ها انجام می دهید بنابراین 1x3 = 3 بنابراین 4/3 x 5 = 20/3 یا 6 2/3 امیدواریم که این کمک کند

متن تصویری

حجم یک کره را با قطر 14 سانتی متر پیدا کنید. بنابراین اگر من یک کره دارم- بنابراین این فقط یک دایره نیست ، این یک کره است. شما می توانید آن را به عنوان یک کره به نوعی مشاهده کنید. بنابراین من می خواهم آن را کمی سایه بزنم تا بتوانید بگویید که این سه بعدی است. آنها قطر را به ما می دهند. بنابراین اگر از یک طرف کره مستقیم از مرکز آن برویم. بنابراین ما تصور می کنیم که می توانیم از طریق کره ببینیم. و ما مستقیماً از سانتیمتر عبور می کنیم ، که فاصله آن در آنجا 14 سانتی متر است. اکنون ، برای یافتن حجم یک کره- و ما این را اثبات کرده ایم ، یا بعداً هنگام یادگیری حساب ، اثبات این را خواهید دید. اما فرمول حجم یک کره حجم برابر با 4/3 pi r cubed است ، جایی که r شعاع کره است. بنابراین آنها قطر را به ما داده اند. و دقیقاً مانند حلقه ها ، شعاع کره نیمی از قطر است. بنابراین در این مثال ، شعاع ما 7 سانتی متر خواهد بود. و در حقیقت ، خود کره مجموعه ای از تمام نقاط در سه بعد است که دقیقاً شعاع دور از مرکز است. اما با این کار ، بیایید فقط این شعاع را 7 سانتی متر در این فرمول درست در اینجا اعمال کنیم. بنابراین ما می خواهیم یک حجم برابر با 4/3 pi برابر 7 سانتی متر با قدرت سوم باشد. بنابراین من این کار را با آن رنگ صورتی انجام می دهم. بنابراین 7 سانتی متر به قدرت سوم. و از آنجا که قبلاً شامل PI است ، و شما می توانید PI را با 3. 14 تقریب دهید. برخی از افراد حتی آن را با 22/7 تقریبی می کنند. اما ما در واقع فقط ماشین حساب را دریافت خواهیم کرد تا مقدار دقیق این جلد را بدست آوریم. بنابراین این اتفاق می افتد- بنابراین حجم من 4 تقسیم بر 3 خواهد بود. بنابراین 4 با 3 برابر pi ، بار 7 به قدرت سوم تقسیم می شود. به ترتیب عملیات ، قبل از انجام ضرب ، نماینده را انجام می دهد ، بنابراین این باید نتیجه بگیرد. و واحدها در سانتیمتر سانتی متر مکعب یا مکعب قرار می گیرند. بنابراین 1436 می گیریم. آنها به ما نمی گویند چه چیزی را دور کنیم. بنابراین من فقط آن را به نزدیکترین 10- 1،436. 8 دور می کنم. بنابراین این برابر با 1،436. 8 سانتی متر مکعب است. و ما تمام شد